pedagogía  

 

 

Curso de lógica para educación secundaria
 

     La lógica estudia el orden que en la ciencia introduce nuestro entendimiento. Orden que no tiene nada de arbitrario, sino que se ajusta a leyes muy precisas y rigurosas. Este orden y leyes se manifiestan especialmente en los razonamientos o argumentaciones, que tienen en la ciencia el importantísimo papel de proporcionarnos conocimientos mediatos. La verdad de algunos de nuestros conocimientos es captada inmediatamente, verbigracia cuando afirmamos que hoy llueve. Por el contrario, tenemos conocimientos cuya verdad no puede captarse inmediatamente por medio de la experiencia, sino que proceden mediatamente de otros anteriormente admitidos. Por ejemplo, cuando decimos que somos mortales, cosa que afirmamos por saber que todo hombre es mortal y que nosotros somos hombres, no porque hayamos tenido experiencia directa de tan desagradable característica.

LA FORMA DEL RAZONAMIENTO.- La lógica tiene el importantísimo cometido de dar a conocer las leyes del razonamiento. Leyes del razonamiento que determinan lo que se ha llamado forma del razonamiento, noción que debe distinguirse cuidadosamente de la materia del razonamiento. Considérense los ejemplos siguientes:

1.Todo hombre es mortal, todo chino es hombre, luego todo chino es mortal.
2.Todo hombre es plumífero, todo simio es hombre, luego todo simio es plumífero.
3.Todo hombre es mortal, todo chino es mortal, luego todo chino es hombre.

Estos razonamientos nos hablan -en cada una de sus proposiciones- acerca de la realidad, es decir, tienen un contenido o materia (la mortalidad del hombre, la humanidad del chino, etc.) que es diferente para cada uno de ellos.

Pero esta diferencia no impide que entre estas argumentaciones haya una gran semejanza en cuanto a su forma o estructura. Es más, el ejemplo primero y el segundo tienen una forma perfectamente idéntica, que puede esquematizarse de la manera siguiente:

Todo A es B,
 todo C es A,
 luego todo C es B.

Pues bien, la lógica que aquí vamos a estudiar se ocupa de la forma o estructura de los razonamientos, dejando de lado el contenido o materia de los mismos. Por esta razón recibe la lógica el apelativo de formal.

LA VERDAD Y LA CORRECCION.- Todo razonamiento consta de dos partes: 1) Las premisas o antecedente, que son las proposiciones en cuya verdad nos apoyamos para adquirir un nuevo conocimiento. 2) La conclusión o consecuente, que no es sino la proposición en la que se expresa el nuevo conocimiento adquirido (suele ir encabezado por la palabra "luego").

Volvamos de nuevo nuestra mirada hacia los ejemplos antes expuestos. A nadie se le habrá escapado la observación siguiente: en los ejemplos 1 y 3 se extrae una conclusión verdadera de premisas verdaderas, mientras que en el ejemplo 2 tanto el antecedente como el consecuente son falsos con toda evidencia. Y, sin embargo, la lógica formal rechazaría el ejemplo 3 y aceptaría el 2; de modo que alguno quedará sumido en la perplejidad ante proceder tan arbitrario: ¿No es acaso más aceptable decir "todo chino es hombre" que afirmar "todo simio es plumífero"?

Pero el lógico tiene sus razones, que pueden reducirse a la distinción entre verdad formal y verdad material. Por verdad material o verdad sin más se entiende la adecuación de lo que se dice en la proposición con la realidad. La verdad formal o corrección no se da por relación a los objetos reales, sino por relación a las leyes lógicas de las que hablábamos. Como quiera que al lógico sólo le interesa la verdad formal y deja de lado la verdad material o alcance real de las proposiciones en los razonamientos, nada tiene de extraño que considere lógicamente aceptables tanto el primero como el segundo de nuestros ejemplos, porque ambos están en conformidad con las leyes lógicas del silogismo, aunque materialmente el segundo ejemplo sea falso. Y conforme a este mismo criterio formal, el lógico rechazará el ejemplo 3, ya que no se atiene a las leyes del silogismo: que el hombre y el chino coincidan en ser mortales no es argumento para afirmar que el chino es hombre. Que la conclusión sea verdadera es mera casualidad. Si en vez de "chino" hubiéramos puesto "gato", la conclusión seróa falsa sin que el razonamiento tuviera una estructura diferente y sin que las premisas fuesen por ello falsas. La verdad de esta conclusión no se apoya, pues, en las premisas.

LOGICA Y LENGUAJE.- La lógica estudia cuándo la forma de los razonamientos es correcta, es decir, se atiene a las leyes de la lógica. El procedimiento más natural para lograr esa finalidad es la consideración del lenguaje en que se expresan los razonamientos. Pues el lenguaje desde el punto de vista sintáctico manifiesta con notoria claridad la forma de los razonamientos.

El signo lingüístico puede estudiarse, al menos, según dos dimensiones: la sintaxis y la semántica. La dimensión sintáctica del signo lingüístico es la relación en que se halla con otros signos. La dimensión semántica nace de relacionar el signo con lo significado. Así, si decimos que "hombre" es sujeto de la oración "el hombre es bípedo", consideramos la dimensión sintáctica del signo en cuestión. Si, por el contrario, decimos que por hombre se entiende una determinada especie de animales diferenciada de los otros animales por ser racional, consideramos semánticamente el signo "hombre".

La sintaxis de los términos, no su significado, es excelente guía para captar la forma de los razonamientos. Así, al buscar la estructura común de los razonamientos arriba citados se abandonan los elementos con un significado para considerar los elementos carentes de significado, o elementos sintácticos (todos... son...; luego... etcétera...).

Los elementos sintácticos del lenguaje son aquellos signos que sólo tienen sentido en función de otros términos a los que acompañan, razón por la cual reciben el apelativo de sincategoremáticos o que están junto a los categoremáticos. Signos categoremáticos son los que tienen un significado por sí solos, con independencia de los que le acompañan; verbigracia, "hombre", "chino", "animal", etc.

Aunque a través de la sintaxis del lenguaje ordinario, del lenguaje cotidiano, pueda adquirirse la forma de la argumentación, este lenguaje tiene una tal complejidad que, a menudo, esconde en sus entresijos la forma de los razonamientos, dificultando enormemente la labor del lógico. Dificultad que, en ocasiones, llega a originar argumentaciones erróneas, apoyadas en una estructura lógica que no es más que apariencia de tal. Veamos, pues, algunos ejemplos:

4. Todo gato es una herramienta, todo gato maúlla, luego algunas herramientas maúllan.
5. Armario es un mueble, mueble tiene dos sílabas, luego armario tiene dos sílabas.

Evidentemente, algo falla en la forma de estos razonamientos. En el 4, el término gato, que debiera servir de enlace entre "herramienta" y "maúlla", está tomado con sentidos diferentes, de modo que vale como si fueran dos términos y pierde así su capacidad de unir los otros dos. Los términos como "gato" se llaman equívocos. El ejemplo, el 5 tiene también un término medio engañoso, por cuanto que es utilizado de maneras diversas: en un caso, mueble está puesto por unos objetos reales y, en otro, por una palabra. El término gato está empleado con suposiciones diversas.

Casos de razonamientos como éstos han dado lugar a que los lógicos hayan procurado atajar los errores procedentes del lenguaje natural. Y para ello se han servido de dos procedimientos: la formalización y la simbolización.

 

FORMALIZACION Y SIMBOLIZACION.- La formalización de la lógica es el proceso por el cual se hacen explícitos, se sacan a la luz, todos los elementos que dan corrección puramente formal a los razonamientos, de forma tal que el contenido semántico de los términos empleados no interfiera en la validez de dicho razonamiento. Así, desde el momento en que se explicite en el ejemplo que los términos son cuatro y solo tres en apariencia, se habrá alcanzado una formalización más perfecta del razonamiento en cuestión.

La lógica clásica -nacida con el Organon de Aristóteles y continuada hasta nuestros días principalmente a través de la escolástica (Pedro Hispano, San Alberto Magno, Juan Buridán, etc.)- tenía muy claramente este designio formalizador, que es en realidad consustancial a la lógica. Para ello solían, ya desde Aristóteles, sustituir los términos categoremáticos por letras, de forma que, al apartar el sentido de estos signos, no nos arrastren a admitir argumentaciones por razones ajenas a la forma.

La simbolización consiste en la utilización de signos artificiales (que no pertenecen al lenguaje natural) que sustituyen a los signos del lenguaje natural para facilitar las operaciones del cálculo lógico. Cuando la lógica está simbolizada, no sólo se sustituyen los signos categoremáticos por símbolos, sino también los elementos sintácticos del lenguaje (por ejemplo, los signos si... entonces, del lenguaje natural se verán sustituidos por el símbolo "...."

La simbolización, es decir, el uso de símbolos en lugar tanto de signos categoremáticos como sincategoremáticos, es la operación sobreañadida a la formalización que caracteriza a la llamada lógica simbólica o matemática. Este nuevo enfoque de la lógica data de mediados del siglo XIX, y entre sus más conspicuos representantes cuenta con Boole, Frege, Russell, Lukasiewicz y Hilbert.

 

FUNTORES Y ARGUMENTOS.- La lógica matemática recibe este nombre porque su inspiración directa se halla precisamente en esta ciencia, en la matemática. Esto se manifiesta muy especialmente en la distinción entre funtores y argumentos, que viene a ocupar el puesto de la vieja distinción entre términos categoremáticos y sincategoremáticos.

Consideremos el siguiente teorema matemático: (ver teorema matemático)

(x+ y)2 = x2 + 2 x y + y2

En él aparecen unos términos que pueden sustituirse por cualquier cantidad: son las variables (x e y, en este caso). El teorema conserva el mismo valor sean cuales fueren las cantidades que sustituyan a dichas letras, por lo cual reciben la denominación de "variables" o "argumentos". Pero vemos otros signos que representan solamente relaciones entre aquellas variables ("+", "=") y no expresan contenido alguno. Se trata de las "constantes" u "operadores". Tales formulaciones algebraicas representan así una "estructura" susceptible de llenarse con contenidos diversos.

De modo análogo ha sido interpretado el lenguaje por los lógicos matemáticos. El discurso hablado se compone, como vimos, de unos vocablos que designan contenidos, y otros significativos sólo de relaciones entre ellos. Estos últimos son las constantes lógicas, o, mejor, los operadores, correctores o funtores (por ejemplo, "o", "y", "todos", "no", "algunos", etc.).

Los contenidos pueden ser términos (perro, hombre, racional) o proposiciones completas (el perro ladra), de modo que puede distinguirse entre argumentos terminales (puestos en lugar de términos) y argumentos proposicionales (puestos en lugar de proposiciones).

Paralelamente ha de distinguirse entre funtores proposicionales (que relacionan argumentos proposicionales) y funtores terminales (que relacionan argumentos terminales). Por ejemplo, la argumentación siguiente:

Si llueve, entonces la calle se moja.
 Llueve,
 luego la calle se moja.

Si en esta argumentación sustituimos "si... entonces" por el funtor (ver funtor 1), el signo "luego" por (ver funtor 2) (funtores proposicionales) y las proposiciones de que consta por "p" y "q" (argumentos proposicionales) tendremos el siguiente esquema: (ver esquema)

Si, por otro lado, queremos expresar simbólicamente las relaciones entre los términos en la proposición "los hombres son animales", pondremos "A" en lugar de hombres; "B", en lugar de "animales" (argumentos terminales), y sustituiremos "es" por (ver funtor 3).

 

EL CALCULO LOGICO.- La lógica matemática, según hemos visto en el capítulo precedente, utiliza un lenguaje simbolizado, a cuyos argumentos puede darse interpretaciones o sentidos diversos, sin cambiar por ello la estructura o forma de los razonamientos, que viene expresada por los funtores. Este método, que pretende sacar a luz las estructuras del lenguaje, tiene su culminación en lo que llamamos un cálculo lógico. En tal cálculo se suprime toda referencia al significado y verdad de las variables hasta llegar a operarse sobre una pura estructura o sistema de relaciones. En él se derivan todas las expresiones de modo mecánico desde unos elementos primeros (signos y axiomas principalmente) y merced a unas reglas que veremos seguidamente. De la misma manera que los funtores y los argumentos pueden ser bien "proposicionales" o "terminales" se da la posibilidad de llevar a cabo un cálculo proposicional o terminal. El cálculo proposicional será el final de la llamada lógica proposicional, que considera solo los funtores proposicionales y cuyos argumentos son proposiciones completas, sin analizar. El cálculo terminal puede ser de diversos tipos (de predicados, de clases o de relaciones), pero siempre se caracteriza porque contiene funtores terminales.

 

EL ANALISIS LOGICO ELEMENTAL DEL LENGUAJE.- El primer análisis que la lógica hace del lenguaje consiste en dividirlo simplemente en proposiciones y en los funtores que enlazan esas proposiciones. El siguiente párrafo de Menéndez Pelayo puede servirnos de ejemplo: "

... aunque no sean muchos los librepensadores españoles, bien puede afirmarse de ellos que son de la peor casta de impíos que conoce el mundo; porque, a no estar dementados como los sofistas de cátedra, el español que ha dejado de ser católico es incapaz de creer en cosa alguna"...

Puede reducirse este pasaje a unas proposiciones sin analizar en sus elementos ("no sean muchos los librepensadores españoles", "puede afirmarse de ellos", "son de la peor casta de impíos", etc.), y los elementos que expresan las relaciones sintácticas entre esas proposiciones ("aunque... bien", "que", "porque"). Puede decirse, en resumen, que en la lógica proposicional todo el discurso se divide en:

- Variables proposicionales (argumentos que sustituyen los posibles contenidos de las proposiciones).
- Funtores proposicionales (constantes que enlazan oraciones).

Mas también a todo ese párrafo de Menéndez Pelayo puede considerárselo una proposición. Lo cual nos obliga a distinguir en el seno de las proposiciones entre:

- Proposiciones moleculares: aquellas que pueden descomponerse en partes que son también proposiciones. (Así, toda la proposición citada.)
 - Proposiciones atómicas: aquellas que no pueden descomponerse en partes que sean también proposiciones. (Por ejemplo, todas las proposiciones en que hemos descompuesto la mencionada proposición compleja o molecular.) Esta distinción equivale a la que utiliza la gramática entre oraciones simples y compuestas.

¿Qué son, entonces, las proposiciones? Por proposición entendemos una formación lingüística que, por expresar una situación real u objetiva, es verdadera o falsa. Estos calificativos de verdadera o falsa que puede aplicarse a toda proposición se llaman valores de verdad (valor de verdad "falso" y valor de verdad "verdadero").

Extrañará quizá que se hable aquí de verdad y falsedad, dado que la lógica se desentiende, como hemos dicho, de la significación de los enunciados, y, por lo mismo, de su verdad o falsedad, nociones que se reservan a la Teoría del Conocimiento. A la lógica formal le interesa -esto sí- que a cada variable enunciativa pueda asociársele siempre un valor de verdad a fin de estudiar los modos cómo el valor de verdad de cada proposición determina el valor de verdad de otras.

Estos valores de verdad, puesto que afectan a toda proposición, podrán decirse tanto de las proposiciones atómicas como moleculares. Ahora bien, no es lo mismo decir que es verdadera una proposición atómica que una proposición molecular. Porque la verdad de las proposiciones atómicas es la adecuación con la realidad que significan, mientras que, según veremos, la verdad de las proposiciones moleculares depende no de la realidad exterior, sino de los valores de verdad que posean las proposiciones atómicas que la componen.

Con lo cual estamos en situación de interpretar correctamente la siguiente definición del cálculo proposicional: "El cálculo proposicional estudia cómo la verdad (o la falsedad) de una proposición molecular es función (posee una relación de correspondencia determinada) con los valores de verdad (o falsedad) de las proposiciones más simples o atómicas que la componen".

 

TABLAS DE VERDAD.- La dependencia del valor de verdad de las proposiciones moleculares respecto a las atómicas que las componen, pueden apreciarse en un sencillo ejemplo: "Si llueve, entonces la calle se moja".

Esta proposición compuesta de dos simples o atómicas será falsa si lo es la segunda proposición y verdadera la primera. En los demás casos posibles la proposición molecular podrá ser verdadera.

El valor de verdad asignado a la proposición molecular en su conjunto depende exclusivamente del valor que tengan las proposiciones atómicas y de nada más. (ver tablas de verdad)

Por ende, siempre que la proposición encabezada por la conjunción "si" (el antecedente) es verdadera, y la proposición encabezada por "entonces" (el consecuente) es falsa, la proposición molecular será falsa. En todos los demás casos será verdadera, sea cual fuere el significado de las proposiciones unidas por tales elementos sintácticos. Por esto, siempre que aparezca el funtor "si... entonces" con el sentido aquí empleado, los valores de verdad de la proposición así formada serán siempre los que aparecen en la tabla.

Merced a tablas semejantes a la propuesta, pueden definirse los diversos conectores proposicionales. En nuestro ejemplo definiríamos el conector "si... entonces" como aquel que siempre es verdadero salvo en el caso de que la primera de las proposiciones simples que enlaza sea verdadera y falsa la segunda. En seguida veremos cómo se simbolizan dichas tablas de verdad.

Existe un procedimiento simbólico, más manejable que el arriba expuesto, para dar a conocer los valores de verdad que arroja la unión de varias proposiciones simples al ser determinadas por un funtor y constituir así una proposición molecular.

Pero antes de exponer este procedimiento, que recibe el nombre de tablas de verdad, es necesario conocer dos clases de símbolos:

a) Los variables o argumentos proposicionales, que, como sabemos, representan cualquier enunciado simple se simbolizan universalmente por medio de las letras "p", "q", "r", etc.
b) Los valores de verdad de estas proposiciones se simbolizan mediante las letras "V" si es la verdad y la "F" si es la falsedad.

El procedimiento de las tablas de verdad consiste en lo siguiente:

1. Establecimiento de las posibles combinaciones de valores de verdad de los argumentos determinados por el funtor en cuestión. Por ejemplo, para una fórmula que contenga dos argumentos diferentes ("p" y "q") utilizaremos un esquema del siguiente tipo:

Naturalmente, si el funtor determina un número mayor de argumentos la tabla se complicará. Por el contrario, se simplificará si solo determina a un argumento. En este último caso, tendremos el siguiente esquema:

2. A la derecha de la tabla arriba expresada se colocarán los valores de verdad de la proposición compleja en correspondencia con cada combinación de valores de verdad.

 

LOS FUNTORES PROPOSICIONALES.- En nuestro lenguaje usual, los más corrientes términos sincategoremáticos (conjunciones, proposiciones, etc., que sólo adquieren sentido unidos a términos categoremáticos) que unen proposiciones son los siguientes: la negación "no", la conjunción "y", el signo de la disyunción "o", la condicional "si... entonces", la condición reforzada "si y sólo si... entonces".

Nótese que entre estos funtores los hay que pueden determinar a una sola proposición (aunque también puedan determinar a más). Me refiero a la negación. Otros, por el contrario, determinan al menos a dos proposiciones simples: la conjunción, la disyunción, etc. Los primeros reciben el nombre de funtores monádicos, los segundos el de funtores diádicos.

 

- LA NEGACION: Al añadir el signo de naegación a una variable proposicional obtenemos una nueva proposición que se lee "no p". Su valor de verdad será exactamente el contrario del valor de verdad de p. Lo expresaríamos en palabras diciendo que si "p" es verdadera, entonces "no-p" es falsa, y viceversa.

- CONJUNCION: Este funtor se lee "p y q". Por medio de ese símbolo obtenemos una proposición molecular, cuyo valor de verdad estará en función del de las proposiciones que la integran.

Por lo cual la conjunción de p y q sólo será verdadera si ambas variables lo son. Por ejemplo, sería una proposición falsa: "La Tierra gira alrededor del Sol y el Sol no tiene luz propia", por más que la primera proposición sea verdadera.

- DISYUNCION: Este funtor puede leerse "p o q". Pero debe tenerse gran cuidado con el término "o" del lenguaje natural, porque a más del presente tiene otros sentidos. Aquí usamos "o" en el sentido de "necesariamente uno u otro o ambos a la vez". Verbigracia, cuando decimos "para ser secretario hay que saber inglés o hay que saber francés". Pero en castellano "o' se usa también con sentido exclusivo, cuando puede sustituirse por una expresión como "lo uno o lo otro, pero no las dos cosas a la vez". Por ejemplo, "Juan es gallego o asturiano". En ocasiones, se usa también este término para expresar una alternativa necesaria en el sentido de "necesariamente lo uno o lo otro, pero no los dos a la vez". Por ejemplo, cuando decimos "Juan es rubio o no lo es".

El operador de la disyunción se define por consiguiente como aquel que arroja el valor de la falsedad sólo cuando son falsas las dos expresiones que une.

- CONDICIONAL: Esta expresión puede leerse "p implica q", o "si p entonces q". Anteriormente vimos que el funtor de la implicación se definía como aquel que sólo da el valor de falsedad cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.

Es de notar aquí que no pueden invertirse de orden las expresiones que une el funtor condicional, contra lo que sucedía en los casos de la conjunción y la disyunción. Por ejemplo, en la proposición compuesta "Si llueve, entonces el suelo se moja", puede suceder que no llueva, pero que el suelo se moje por haberlo regado u otro motivo. Si ponemos un enunciado falso antes del funtor de la condicional y después un enunciado verdadero, el resultado es el valor de verdad de la proposición compuesta; pero a la inversa no sucede lo mismo: si lloviera y el suelo no se mojara, dicha proposición sería falsa. En la implicación, pues, es esencial el orden de los valores de verdad.

- BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA: Leeríamos esta expresión diciendo "p equivale a q" o "si y sólo si p, entonces q". Se trata, pues, no de una mera condición suficiente como la condicional, sino de una condición suficiente y necesaria.

"Si y sólo si Juan sabe griego podrá leer en su idioma original las obras de Aristóteles". Es claro que no puede ser verdadero lo segundo sin que lo sea lo primero.

Existen otros conectores proporcionales que, a pesar de su interés lógico, pueden definirse mediante los que hemos ya visto. Incluso cabe realizar reducciones entre los funtores enumerados definiendo unos por medio de otros. Así, la implicación puede reducirse a una fórmula donde sólo aparezcan el funtor de la disyunción y el de la negación.

Aunque pueda llegarse a reducir a dos los funtores, e incluso a uno solo, por razones de brevedad y claridad se utilizan los cinco que hemos reseñado. Una excesiva simplificación origina formulaciones demasiado largas y complejas.

A partir del momento en que unimos dos proposiciones simples con un funtor monádico o diádico obtenemos una proposición molecular. A su vez, tal proposición puede entrar a formar parte de otra más compleja y así sucesivamente. Para evitar equívocos se utilizan en estos casos los paréntesis como la fórmula que acabamos de exponer. Toda formulación que contenga más de un funtor deberá contener necesariamente paréntesis. La fórmula (ver formula ambigua) es ambigua, ya que puede expresar cosas tan diferentes como las dos proposiciones moleculares siguientes, que, sin embargo, constan de las mismas proposiciones atómicas:

1. Si Juan tiene mucho dinero y le hace la corte se casará con Elisa.
2. Juan tiene mucho dinero y si le hace la corte se casará con Elisa.

Basta con emplear los paréntesis adecuadamente para que desaparezca el equívoco, pues la primera de estas proposiciones se simbolizaría como  y la segunda

 

EVALUACION.- Toda proposición por compleja que sea posee, como hemos visto, un valor de verdad en función de las proposiciones menos complejas que la integran. La operación que llamamos evaluar es un procedimiento para asignar valores de verdad a toda fórmula en dependencia siempre de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Los paréntesis simbolizan las subordinadas existentes en el seno de cualquier fórmula, de tal suerte que cabe establecer una jerarquía de operadores en ella. Aquel operador binario que se halla fuera de todo paréntesis será el principal, y su valor de verdad dependerá de las proposiciones (simples o complejas) que relacione.

La equivalencia posee su valor de verdad en dependencia del que posean las fórmulas que se encierran en cada paréntesis. Y éstas, a su vez, serán verdaderas o falsas según lo sean las proposiciones simples de que se componen.

El procedimiento más claro para hallar los valores de verdad se llama de las matrices. En él se parte de los valores de verdad de los elementos más simples (las proposiciones atómicas) y se van de izquierda a derecha, los valores de cada fórmula parcial según el orden que nos señala la jerarquía de funtores.

Nótese que siempre se ha de empezar desde lo más simple, y que, según la jerarquía de funtores que aparecen en la fórmula, se asciende hasta el principal (que en este caso es el de la condicional). Tres pueden ser los resultados que arrojen las fórmulas: que la fórmula sea siempre verdadera, que sea siempre falsa, o, como en nuestro ejemplo, que resulte a veces verdadera y a veces falsa.

Cuando tenemos fórmulas que arrojan unas veces la falsedad y otras la verdad nos hallaremos ante fórmulas realizables.

Las leyes lógicas o tautologías son proposiciones formalmente válidas, es decir, esquemas verdaderos, sea cual fuere la proposición que ocupe las variables proposicionales. Las fórmulas contradictorias, a la inversa, siempre serán falsas; y las fórmulas indefinidas dependerán de la comprobación de los elementos más simples de la misma para conocer su valor de verdad conjunto. En otras palabras, en las fórmulas contradictorias y en las tautológicas sabemos que son verdaderas o falsas respectivamente sin necesidad de comprobar la objetividad de sus proposiciones atómicas, al paso que es necesario realizar esta comprobación de objetividad en los enunciados indefinidos.

 

EJEMPLOS DE LEYES LOGICAS.- Las leyes lógicas o tautologías tienen especialísima importancia para la lógica, pues, como bien sabemos, esta ciencia trata de hallar estructuras formales, siempre válidas, con independencia de la materia o contenido de que consten. Contra estos requisitos faltan las fórmulas realizables (porque su verdad depende de la materia que expresen) como las contradictorias (incorrectas siempre). El número de leyes lógicas es infinito

La utilidad principal de las leyes lógicas es que permiten llevar a cabo razonamientos o inferencias de forma que se extraigan enunciados nuevos a partir de unas premisas. Y ello se logra, como vimos, gracias a la aplicación de las leyes lógicas que permiten realizar las transformaciones que esto supone. Podemos en virtud de la ley denominada ponendo ponens de la implicación, concluir q. Así, si p está puesto en lugar de "llueve" y q en lugar de "la calle se moja". Si tenemos como premisas "Si llueve, entonces la calle se moja" y "llueve", entonces podremos afirmar que la calle se moja.

No se reducen a cosas tan simples las inferencias que podemos llevar a cabo por medio de las leyes de la lógica proposicional, sino que en ocasiones hay que dar más de un paso y aplicar por consiguiente las leyes lógicas más de una vez. Veamos un ejemplo de esto. Pero antes conviene aclarar que en la inferencia que sigue las premisas están numeradas a partir del 1 y cada una de ellas se distingue de los restantes "pasos" o líneas de inferencia porque llevan a su izquierda un guión. Tras las premisas vienen las mencionadas "líneas de inferencia", pocos dados siempre con la autorización de alguna de las leyes que conocemos. La ley que justifica cada paso se expresa a la derecha del mismo y hace referencia a la premisa que ha sido transformada.  

 

LA LOGICA DE CLASES.- La lógica de clases investiga no ya las formas o estructuras que se dan entre proposiciones dentro del razonamiento, sino que llevando más allá su análisis, considera también las relaciones formales existentes entre los términos dentro de cada proposición.

En el capítulo anterior vimos cómo algunos razonamientos muestran su corrección con sólo considerar la estructura existente entre sus proposiciones, sin necesidad de analizar dichas proposiciones en sus términos. Por ejemplo, la siguiente argumentación, ya mencionada: "Si el sol calienta sube el termómetro, y el sol calienta, luego sube el termómetro", que no es sino una aplicación del modus ponendo ponens de la implicación.

Pero hay razonamientos que exigen considerar las relaciones existentes entre los términos de la proposición, pues de sus relaciones mutuas surge la corrección del razonamiento. Verbigracia, el citado razonamiento:

Todo hombre es mortal.
Todo chino es hombre,
luego todo chino es mortal,

debe la validez de su conclusión al llamado término medio (hombre en este caso) que es el argumento o enlace entre los otros dos términos (chino y mortal). Por ende, si queremos conocer las leyes que rigen esas argumentaciones habrán de tenerse en cuenta las relaciones formales entre los términos.

Desde dos puntos de vista podemos considerar los conceptos y los términos (que son su expresión lógica): la extensión y la comprensión o intensión

 

COMPRENSlON Y EXTENSION. PROPIEDADES DE LOS CONCEPTOS.- Comprensión es el conjunto de notas o conceptos más generales que se hallan incluidos en un concepto. No puedo poseer el concepto hombre, por ejemplo, sin poseer antes, aunque sea confusamente, los conceptos ser animado o animal, viviente, ser corpóreo, ser en general. El concepto objetivo hombre supone todos esos conceptos previos. Su definición es animal racional, y si quiero definir animal tendré que apelar a viviente, etc.

Extensión, en cambio, es el conjunto de conceptos menos generales o de cosas concretas a las que puede aplicarse (atribuirse) el concepto. Así, la extensión del concepto hombre es el conjunto de seres humanos, y el de europeo, el de los que habitan o han habitado nuestro continente.

Estas dos propiedades lógicas de los conceptos, comprensión y extensión, guardan entre sí una relación inversa. Es decir, que a mayor comprensión de un concepto corresponde menor extensión en el mismo, y viceversa. Cuanto más se concreta una idea o concepto, más se limita su esfera de aplicabilidad, y cuanto más se amplia su sentido, mayor será su esfera de atribución. El concepto hombre supone una nota más que el de animal (la racionalidad); su comprensión es mayor, pero su extensión resulta menor, puesto que excluye de su campo a todos los seres animales no racionales. Inversamente, el concepto viviente posee una nota menor que el animal, y por lo mismo conviene a una mayor zona de seres: todos los vegetales que estaban excluidos del concepto animal.

En los puntos extremos de esta doble relación se halla el concepto de máxima extensión y mínima comprensión, que es el de ser, y el de mínima extensión y máxima comprensión, que es el individuo (Juan, Pablo, Luis, etc.). El concepto de ser no posee más que una nota, la misma de ser, por encima de la cual ya no existe ninguna noción más general. Su extensión es, por lo mismo, la más dilatada: todas las cosas reales, materiales, espirituales, ideales, etc., forman parte de su esfera de aplicabilidad. El concepto individual, en el extremo opuesto, representado por el nombre de un individuo (Juan Pérez, por ejemplo), contiene un número indefinido de notas. Posee todas las del concepto hombre más el innumerable número de cualidades propias, individuales, que hacen a un individuo ser ése y no otro. Por ello mismo su extensión es mínima: sólo a ese individuo, Juan Pérez, se puede aplicar ese nombre y ese concepto.

Estas dos propiedades de términos y conceptos (su comprensión y su extensión) permiten una doble consideración de los mismos, que es desarrollada por la lógica de predicados y la lógica de clases.

 

NOCION DE CLASE.- Clase es el conjunto de objetos a los que conviene un predicado determinado. Verbigracia, la clase de los navarros es el conjunto de individuos que cumplen la condición de haber nacido en un determinado reino español.

Conocer la extensión de un concepto supone conocer su comprensión o intensión. ¿Cómo podemos saber si una cosa pertenece a la extensión de un concepto, si desconocemos las notas de que consta dicho concepto? Sólo si sabemos que "hombre" incluye las nociones de animal y de racional podremos aplicarlo a Juan, a Pedro, etcétera, y separar así el conjunto de objetos que cumplen las mencionadas propiedades.

De ahí que para la definición precisa de las clases deba recurrirse precisamente a algunas nociones de la llamada lógica de predicados.

La lógica de predicados adopta un punto de vista intensionalista o comprensivista al preocuparse de las propiedades y su conveniencia con los individuos.

Sea la proposición "Juan canta". Esta proposición consta de un predicado (canta) y de un sujeto (Juan). El predicado tiene la característica de poder determinar a gran número de individuos, lo cual permite considerarlo un funtor. Al igual que el funtor de la negación en la lógica proposicional podía determinar un sinnúmero de proposiciones, así el funtor "canta" puede referirse a Juan, a Pedro, a Suintila, etc. Y de la misma manera que lo determinado por el funtor de la negación se llama su argumento, así lo determinado por "canta" será su argumento. Argumento que en este caso es terminal, no proposicional como el anterior.

En la lógica de predicados se descomponen las proposiciones en una función {f} y un argumento (x). La función significa un predicado (o nombre de una cualidad) que está necesitado de complementación con un argumento del cual se predica. Así una proposición como "Elena es asturiana" podría expresarse por medio de la forma general f (a) si entendemos {f} como "es asturiana" y (a) como "Elena". De ahí extraemos la forma enunciativa absolutamente general f (x), donde f es cualquier predicado y x cualquier argumento de este predicado.

La lógica de clases también se ocupa de la composición de las proposiciones, pero no desde el punto de vista intensional, sino desde el punto de vista de la extensión. En una función proposicional se dice del argumento que presenta una determinada nota o propiedad, mientras que en la lógica de clases se dirá que la extensión de un concepto esta incluida en la de otro. La proposición "Juan canta" no se interpretará ya en el sentido de que Juan cumple la nota de cantar; se dirá, por el contrario, que Juan pertenece a la clase de los que cantan.

Por clase debemos entender la extensión de un concepto. Pero la noción de clase no está desligada de la de predicado, sino que constituye un aspecto complementario y dependiente de ella. Por lo mismo, a partir de todo predicado podemos formar una clase. Propongamos la cualidad de ser "enfermizo". La clase de los enfermizos será el conjunto de todas las entidades a que pueda aplicarse dicha cualidad.

Existe un primer funtor de la lógica de clases que permite designar los individuos a los que conviene un determinado predicado, por modo tal que a partir de la función enunciativa se construye una clase. Sea la propiedad "ser taimado". Pongamos que de la función proporcional f (x), "f" es precisamente dicha propiedad y habremos convertido la mencionada función en un predicado que puede referirse a muchos argumentos, cosa que podría representarse de la forma siguiente: "... es taimado". El conjunto de los objetos que pueden llenar el lugar dejado por los puntos en esta expresión será la clase de los taimados. Esta clase puede expresarse mediante el funtor llamado abstractor (ver abstractor) que significa precisamente el conjunto de objetos que pueden ser argumentos de "... es taimado".

SIGNOS DE LAS CLASES.- Veamos distintas abreviaturas de clases. Para no emplear constantemente el abstractor con la forma enunciativa correspondiente, nos serviremos de las letras mayúsculas "A, B, C..., K, L, M" que expresan simbólicamente las clases. Por ejemplo, la clase de aquellos a los que conviene la propiedad de "ser ingenieros" se puede designar con la letra "A". Es decir, que podemos definir como sigue la clase "A".

Pero si queremos hablar de individuos, utilizaremos las letras minúsculas de la "a" a la "z". Así, el individuo que lleva por nombre Napoleon quedaría reducido, por ejemplo, a la letra "a", y el objeto concreto que es la Luna a la letra "b". Supongámonos en la necesidad de hablar del conjunto de todos los objetos. Para simbolizar tan extenso dominio utilizaremos el signo "I", del cual sólo se excluyen los objetos contradictorios como serían "los triángulos de seis lados". A dicho conjunto le daremos el nombre de clase total. Para el conjunto de los objetos contradictorios consigo mismos reservaremos el signo "O", que denominaremos clase nula o vacía, pues no contiene ni cabe que contenga individuo u objeto alguno. Las clases pueden representarse mediante un procedimiento diagramático en el que cada clase se simboliza por medio de un círculo. El cuadro representa la clase total. Cuanto se halla fuera de dicha clase será la clase nula o vacía.

 

FUNTORES DE CLASES.- Los funtores que expresan las posibles operaciones con clases deben, ante todo, dividirse en dos tipos inconfundibles entre sí. Unos sirven para componer clases más complejas a partir de otras menos complejas. Otros sirven para componer enunciados sobre clases, a los cuales se denomina "funtores enunciativos".

En efecto, no es lo mismo construir por medio de las dos clases "gaditanos" y "rubios" la clase de los "gaditanos rubios", que construir la proposición "algunos gaditanos son rubios" a partir de dichas clases. Porque de la última composición puede decirse que es verdadera o falsa, cosa que no sucede con la primera.

Pero antes de detallar el estudio de los funtores resultan convenientes algunas observaciones:

1.¦ En las definiciones que de ellos daremos se recurrirá al signo de la definición "= df ", que se sitúa entre el definiendum (lo que ha de definirse) y el definiens (definición). Por ejemplo: Hombre = df(animal racional).

2.¦ También deberemos emplear los funtores proporcionales, ya que, como veremos, la lógica de clases supone la de proposiciones.

3.¦ El funtor elemental, necesario asimismo para las definiciones que demos de los restantes funtores se simboliza por el signo (ver epsilon), que expresa pertenencia. Así, la proposición "Ataúlfo es un rey godo" se simboliza de esta manera: "Ataúlfo (ver epsilon) reyes godos". Que se leerá: "Ataúlfo pertenece a la clase de los reyes godos". Se llama a esta simbolización "pertenencia". Procedamos, pues, a la enunciación de los funtores de clases:

 

I. FUNTORES QUE SIRVEN PARA LA FORMACION DE NUEVAS CLASES A PARTIR DE OTRAS:

- Funtor complementario: . Por medio de este funtor se designan todos los individuos u objetos de la clase total que no pertenecen a la clase "A".

- Sumador: . Este funtor se lee "A más B", y da como resultado una nueva clase que incluye todos los objetos que pertenecen a A y a B o a ambas.

-Productor: El resultado de aplicar a dos clases este funtor nos proporciona "el producto de A y B" o clase promedio, que es aquella constituida por los objetos que pertenecen a la vez a A y a B.

 

II. FUNTORES ENUNCIATIVOS:

-Igualador: A = B.

Una clase es igual a otra cuando todos los miembros de una son miembros de la otra y viceversa. Al aplicar tal igualador a las clases "A" y "B" tendríamos como resultado que A es igual a B.

Para definir correctamente los funtores enunciativos de la lógica de clases precisamos aludir a los cuantificadores. Estos funtores pertenecen a la lógica de predicados e indican la cantidad de la forma enunciativa. Por ejemplo: de la proposición "todo hombre es mortal", la forma enunciativa general expresa solamente "hombre es mortal". Será preciso saber la extensión en que se toma el término sujeto, lo cual se simboliza por el signo (x) o generalizador. Así tendremos el enunciado: (x) fx, que se lee "para todo x vale fx".

La definición aquí dada, según la cual "la clase A es igual a la clase B", se leería: "para todo x vale que si y sólo si x pertenece a A, entonces x pertenece a B'. Ejemplo: "La clase de los hombres es igual a la de los bípedos implumes".

- Funtor de la inclusión:  Decimos que la clase A está incluida en la clase B cuando todos los miembros de A son también miembros de B. La operación que realizamos con este funtor se denomina inclusión, que, al darse entre las clases A y B, diremos: "A está incluido en B". Una inclusión se da, por ejemplo, en el siguiente enunciado: "La clase de los franceses incluye la clase de los franceses solteros". No ha de confundirse la inclusión con la pertenencia. La inclusión se da solamente entre términos del mismo tipo lógico, es decir, entre clases; al paso que la pertenencia se produce entre un individuo y una clase. En el caso de la pertenencia es verdadera la proposición con ella formada sólo si un individuo "x" es miembro de una clase "A". Pero este individuo puede ser, bien un individuo último, bien una clase tomada como individuo. Los siguientes ejemplos de pertenencia pueden aclarar este punto:

Fruela es un rey godo.
 Los reyes godos son numerosos.

En ambos casos se toman los sujetos como individuos. La distinción entre inclusión y pertenencia se evidenciara si sabemos que la inclusión es transitiva, mientras que la pertenencia es intransitiva. Podemos decir, por ejemplo:

Todos los negros son hombres.
 Todos los hombres son mortales,
 luego los negros son mortales.

 

Esto es posible solamente en la inclusión donde se da que si (ver inclusion 1) y (ver inclusión 2), entonces (ver inclusion 3). Pero no en la pertenencia, donde no se da siempre la propiedad de la transitividad. Así, no cabe decir:

Santiago es apóstol.
os apóstoles son doce,
luego Santiago es doce.

(Este absurdo nace de considerar que "apóstoles" está tomado como una clase y no como un individuo.)

 

LEYES DEL CALCULO DE CLASES. - Leyes que rigen el cálculo de clases son, entre otras:

- La clase nula está incluida en toda clase

- Tautología de la suma y tautología del producto. Respectivamente

Otras leyes, en cambio, son traducción de leyes del cálculo proposicional.

- Ley de la doble negación. En lógica de proporciones es (ver doble negacion en lógica de clases) y en lógica de clases: A = A.

- Leyes de la dualidad de Morgan, que revisten en lógica de clases la forma siguiente

- La ley de la asociatividad es, en la lógica de proposiciones

Al traducir estas leyes de una a otra lógica establecemos la siguiente interpretación de los funtores proposicionales

Hay, sin embargo, leyes del cálculo proposicional que sólo pueden traducirse al cálculo de clases sirviéndose de los funtores proposicionales. Cuando se conexionan sólo clases simples o compuestas (como en los casos presentados) pueden utilizarse los funtores enunciativos del cálculo de clases. Pero si hemos de unir proposiciones, aunque están analizadas según el cálculo de clases, habremos de utilizar los funtores del cálculo proposicional.

Queda así de manifiesto que la lógica de clases descansa sobre la lógica de proposiciones, que sin esta no puede comprenderse. Ello se hace más patente al considerar el recurso que hemos debido hacer a los funtores proposicionales para definir los de la lógica de clases, al paso que aquellos se definen por medio de las tablas de verdad, sin recurrir a otro cálculo.

 

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